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Rocha, H., F. Viseu, and S. Matos. "Problem solving in a real-life context: an approach during the learning of inequalities." European Journal of Science and Mathematics Education. 12.1 (2024). AbstractWebsite

This study was conducted while 9th grade students learn to solve inequalities and seeks to understand their approach to solving problems with a real-life context. Specifically, the aim is to understand: (1) What are the main characteristics of the students’ approaches to the proposed problems? (2) What is the impact of the real context on the students’ resolutions? A qualitative and interpretative methodology is adopted, based on case studies, with data collected through documentary collection and audio recording of discussions between a pair of students while solving problems. The main conclusions suggest a trend to approach problems without establishing immediate connections with what was being done in the classroom, with students’ decisions being essentially guided by criteria of simplicity. The real context of the problems seems to have the potential to develop in students a more integrated mathematics, focused on understanding and not so much on the repetition of mechanical and meaning-independent procedures. The students’ familiarization with the context in question is one of the aspects highlighted by this study.

Rocha, H. "Pre-service teachers’ knowledge: impact on the integration of mathematical applications on the teaching of mathematics." Science and mathematics education in the 21st century. Eds. L. Leite, and et al. Brussels: ATEE and CIEd, 2019. 26-37. Abstract

Mathematics is present everywhere. However, uncovering the relevance of Mathematics requires, from the teachers, a special kind of knowledge. This study tries to characterize the knowledge used by pre-service teachers when developing a mathematical task intending to promote the students’ exploration of barcodes. The study adopts a qualitative and interpretative methodology and the data were collected using class observation and interviews. The analysis is guided by the Application and Pedagogical Content Knowledge, a model inspired on TPACK (from Mishra and Koehler) and MKT (from Ball and colleagues). The conclusions point to some difficulties to see the potential of the situation to promote mathematical learning. The knowledge on the mathematical content seems to be dominant on the options assumed and operated in a rigid way that prevent the pre-service teachers from exploring the richness of the situation on the tasks they developed.

Rocha, H. "Pre-service teachers’ knowledge and the use of different technologies to teach Mathematics." Perspectives and Trends in Education and Technology. Springer, 2022. 505-515. Abstract

Teachers are central to the choice of tasks proposed to the students. And the teachers’ knowledge is one of the important elements guiding these choices. Despite the different models that conceptualize the teachers’ knowledge to integrate technology in their practices, research has focused essentially on the integration of a single technology. Little is known about how the work with different technologies can contribute to promote the development of the professional knowledge of pre-service teachers (PTs) or how the use of different technologies mobilizes different domains of the PTs’ knowledge. The main goal of this study is to deepen the understanding about the relation between the PTs’ Knowledge for Teaching Mathematics with Technology (KTMT) and their choice of tasks. The study adopts a qualitative and in-terpretative methodology based on one case study. The main conclusions suggest a strong impact of the PTs’ Learning and Teaching Technology Knowledge (a knowledge related to the impact of technology on the teaching and learning process) and a not so strong impact of their Mathematical and Technological Knowledge (a knowledge related to the impact of technology on the mathematical knowledge). The conclusions also point to the potential of the work with different technologies to deepen the PTs reflections and analysis of tasks.

Rocha, H. Práticas de avaliação sumativa na disciplina de Matemática Aplicada de um Curso de Educação e Formação. Atas do VI Seminário Luso-Brasileiro Educação, Trabalho e Movimentos Sociais. Lisboa, Portugal: IE-UL, 2014. Abstractpaper.pdf

Os Cursos de Educação e Formação (CEF) foram concebidos tendo presente o elevado número de jovens em situação de abandono escolar, alunos usualmente marcados por experiências de insucesso, em particular a Matemática. O programa de Matemática Aplicada tem em conta esta realidade, tanto ao nível das aprendizagens como das metodologias e das características da avaliação a implementar. Relativamente à avaliação sumativa, é valorizado o trabalho desenvolvido pelo aluno, a sua apresentação, discussão e melhoria. As indicações dadas ao professor afastam-se da opção tradicional do teste de avaliação. O papel do professor na gestão curricular não é contudo negligenciado, sendo valorizada a adequação das propostas às características dos alunos. Este estudo pretende analisar as concepções de alunos e professores relativamente à avaliação sumativa, procurando compreender a forma como se influenciam mutuamente e como afectam a prática de avaliação do professor. Foram realizados três estudos de caso, incidindo sobre alunos e respectivo professor. Os dados foram recolhidos através de entrevistas, observação de aulas e recolha documental. Os resultados alcançados sugerem uma forte valorização dos testes por parte dos alunos, sendo notória a influência sobre as opções assumidas pelo professor. Determinantes parecem ser as concepções dos alunos relativamente ao papel de alunos e professores no que à avaliação respeita.

Sacristán, A., E. Faggiano, M. Santacruz-Rodríguez, and H. Rocha. "Policies and implementations for technology use in mathematics education: perspectives from around the world." Handbook of digital resources in mathematics education. Springer, 2024. 1-35. Abstract

In this chapter, we examine the role of policies and other factors affecting digital technology (DT) integration in mathematics education. In particular, we develop a cross-national analysis of the impact on DT implementation in four countries: two countries in Europe (Italy and Portugal) and two countries in Latin America (Colombia and Mexico). We analyze the role that policies, political changes, reforms, curricula, educational organization and systems, sociocultural aspects, and teachers’ training, knowledge, and beliefs play toward possible DT implementations. We observe that there is a discourse in policies to promote digital technologies’ use, but in practice the availability and integration of such resources in mathematics classrooms is still scarce. We also note that the efforts done during the pandemic did not change this, promoting general ICT use, rather than DT resources that might enhance mathematics teaching and learning.

Rocha, H. A perspectiva de futuros professores sobre a demonstração matemática. XV Congresso Internacional Galego-Portugués de Psicopedagogia. Corunha, Espanha: Asociación Científica Internacional de Psicopedagogía, 2019. Abstract

The mathematical proof is assumed as a central element in the development of Mathematics. However, proof is conceived in different ways and assumed as having different functions in Mathematics. And when we move from mathematics to its teaching, the multiplicity of perspectives becomes even more significant. This diversity can have an impact on the students and on the relationship they establish with Mathematics. In these circumstances, this study seeks knowledge over the perspectives of future teachers regarding the mathematical demonstration. Specifically, it intends to achieve a deeper knowledge over the future teachers’ perspectives about what is a mathematical proof and about its functions. The study adopts a qualitative approach and uses interviews to collect data. The conclusions reached point to a traditional perspective of mathematical proof, closely tied to mathematical formalism and the validation function, where the teaching context introduces some changes, adjusting the formalism to the level of the students and highlighting the understanding function of proof, but maintaining the dominant character of the algebraic language.

Viseu, F., and H. Rocha. "Perceptions of mathematics teachers on the teaching of functions and on the use of technological materials - Perceções de professores de matemática sobre o ensino de funções e sobre o uso de materiais tecnológicos." Educação Matemática Pesquisa. 20.2 (2018): 113-139. AbstractWebsite

This study intends to understand the perceptions of mathematics teachers from lower and upper secondary regarding the teaching of Functions and the use of technological materials. For that, a mixed methodology was adopted, and the perceptions of 129 teachers were collected through a questionnaire and four teachers through an interview. The main conclusions point to similarities in teachers' perceptions, but also to some differences related to the teaching level of lower or upper secondary. In the teaching of Functions, textbooks are widely used, but differently depending on the level being taught. The same happens with the representations and with the use that is made of the technologies. Involvement of students in work is another aspect considered important, but again there are differences. The assessment also has similarities, but differs in the valuation ascribed to group work.

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Kahle, R., I. Oitavem, and H. Rocha. "Os problemas de Hilbert." Educação e Matemática. 130 (2014): 23-27.Website
Caneco, R., and H. Rocha O uso de exemplos na demonstração: um estudo com alunos do 11.º ano. SIEM. Castelo Branco, Portugal: APM, 2019. Abstract

This article focuses the choice and use of examples by two students of the 11th grade to prove or refute a set of statements. The use of representations of sequences and functions is also considered. The study adopts a qualitative approach and data were collected by interviews and documental gathering. The conclusions suggest most of the examples used were well-known sequences or functions. However, the students sought different purposes for the use of examples, such as understanding the conjecture, demonstrate the falsity or truthfulness of the statement and conveying a general argument. The students made a satisfactory articulation between the various types of representations but relied mostly in the cartesian graph.

Rocha, H. O recurso a diferentes representações no ensino das funções com o apoio da tecnologia. Actas do XXIII SIEM – Seminário de Investigação em Educação Matemática. Coimbra, Portugal: APM, 2012.
Coelho, E., and H. Rocha O raciocínio dedutivo de alunos do 10.º ano de escolaridade [The deductive reasoning of students in the 10th grade]. XXVII SIEM. Porto, Portugal: APM, 2016. Abstract

Deductive reasoning, being central in mathematics, is also usually a source of difficulties for students, more used to the empirical approaches. In this study we focus on mathematical proof and we try to give attention to how this kind of reasoning is envisaged by the students, to the options they assume when asked to develop a deductive reasoning and to the factors affecting the implementation of this kind of reasoning. The study follows a qualitative and interpretative methodological approach, including the completion of two case studies of students of the 10th grade. Data were collected in work sessions and through interviews. The main findings point to a devaluation of mathematical proof and a strong preference for empirical approaches. Yet students show ability to develop different approaches. The preference for the mathematical subject and the attention given in class to the deduction work, appears to be relevant factors when considering the students' ability to develop a deductive reasoning when involved on a mathematical proof.

Rocha, H. O professor e a fidelidade matemática da calculadora gráfica no estudo de Funções [The teacher and the mathematical fidelity of the graphing calculator in the study of Functions]. XXVIII SIEM. Viseu, Portugal: APM, 2017. Abstract

The teacher's knowledge of the mathematical fidelity of technology and the impact it has on the teacher’s practice is the focus of this article. Based on the conceptualization of Knowledge for Teaching Mathematics with Technology (KTMT), and involving the teaching of Functions at the 10th grade, we analyze: the situations of lack of mathematical fidelity considered by the teacher in the classes, the way how the teacher manages students' contact with this kind of situations, and how the teacher supports students when they are faced with a lack of mathematical fidelity. The conclusions reached point to: some devaluation of the situations of lack of mathematical fidelity, with only one type of situation being explicitly addressed; a careful selection of tasks, in order to ensure that these situations do not occur too soon; a focus on the identification by the students of this type of situation, suggesting what they can do to confirm the suspicion but without effective implementation of the process. As a consequence, knowledge of mathematical fidelity does not necessarily have a relevant impact on teacher’s practice and it is not easily transformed into a deep teacher’s KTMT.

Rocha, H., and P. Teixeira O professor e a aula de Matemática [The teacher and the Mathematics class]. EIEM. Coimbra: SPIEM, 2018. Abstract

A formação e o desenvolvimento profissional do professor são determinantes para as opções que este assume na sala de aula. É o seu conhecimento, aquilo que valoriza e o contexto onde se encontra inserido que determinam as experiências de aprendizagem que proporciona aos seus alunos. Mas esse conhecimento profissional envolve uma multiplicidade de dimensões que decorrem da sua formação inicial e contínua, mas também das experiências que teve ocasião de vivenciar e de processos de socialização, onde a interação com os pares e as oportunidades de desenvolver trabalho colaborativo são elementos importantes. A aula de matemática surge assim como o campo aglutinador do trabalho do professor numa dupla vertente que se une num ciclo único: por um lado a aula de Matemática é o foco do trabalho do professor, onde as opções previamente assumidas são implementadas; e, por outro lado, é um ponto de partida para a reflexão e o desenvolvimento profissional do professor.

Da planificação da aula, onde a escolha das tarefas e a forma de as implementar são aspetos centrais e onde a vertente histórica não deixará de estar presente; à sua implementação, operacionalizando diferentes recursos (nomeadamente os tecnológicos) e assumindo dinâmicas de aula diferenciadas; até à fase de reflexão entre pares, que termina e reinicia um novo ciclo – estas são as grandes etapas em torno das quais este texto se organiza e onde a formação inicial e contínua não deixarão de estar presentes.

Lopes, S., and H. Rocha O jogo como promotor da comunicação e aprendizagem matemática [Games to promote communication and mathematical learning]. XXVII SIEM. Porto, Portugal: APM, 2016. Abstract

Games are commonly appointed as a methodological tool capable of promoting students’ effective learning. In this context, this study intends to analyze the impact of mathematical discussions developed while
playing a polynomial game. Namely it intends to analyze the impact on the consolidation of mathematical concepts previously worked in the classroom and on the communications skills. Two case studies where developed involving 10th grade students. Data gathering was based on direct observation and an inquiry. The main conclusions suggest that the game encouraged the discussion about the mathematical contents and therefore promoted the development of the mathematical discourse. Besides that, it allowed a deeper apprehension of mathematical concepts, and the overcome of some difficulties.

Rocha, H. O formalismo matemático num contexto de utilização da tecnologia [Mathematical proof in a context of technology integration]. Atas do XXVI SIEM. Évora: APM, 2015. Abstract

The technology and how it tends to emphasize the intuitive and overshadow calculus and mathematical proof are the focus of this paper. The conclusions reached suggest that tasks where students might realize the usefulness of calculus as well as of more intuitive approaches are possible even when the technology is a reality in the classroom. They also suggest that proof may, among other things already identified in the literature, make an important contribution to the students’ understanding of fundamental aspects of mathematics.

A tecnologia e a forma como esta tende a enfatizar o intuitivo e a relegar para segundo plano o formal e a demonstração matemática são o foco deste artigo. As conclusões alcançadas sugerem que é possível colocar aos alunos situações onde estes se possam aperceber da vantagem de recorrer tanto a abordagens mais formais como a abordagens mais intuitivas e isto mesmo quando a tecnologia é uma realidade em sala de aula. Sugere ainda que a realização de demonstrações pode, entre outros aspectos já identificados na literatura, dar um contributo importante para a compreensão de aspectos basilares da Matemática.

Rocha, H. O formal da matemática e o intuitivo da tecnologia: que articulação?. Atas do ProfMat 2015. Évora, Portugal: APM, 2015. Abstractpaper.pdf

A tecnologia é cada vez mais indispensável no dia-a-dia, rodeando-nos constantemente. Para os nossos alunos é uma realidade que conhecem desde sempre e que tendem a encarar com uma naturalidade descontraída e intuitiva. A facilidade de acesso à tecnologia e o modo como esta tende a enfatizar o intuitivo e a relegar para segundo plano o formal e a demonstração matemática são o foco deste artigo. Partindo da análise de uma proposta de trabalho onde alunos de 10.º ano começam por uma abordagem intuitiva apoiada na calculadora gráfica e terminam a realizar uma demonstração da conjectura que formularam, procuro discutir a problemática. As conclusões alcançadas sugerem que é possível colocar aos alunos situações onde estes se podem aperceber da vantagem de recorrer tanto a abordagens mais formais como a abordagens mais intuitivas e isto mesmo quando a tecnologia é uma realidade em sala de aula. Sugere ainda que a realização de demonstrações pode, entre outros aspectos já identificados na literatura, dar um contributo importante para a compreensão de aspectos basilares da Matemática.

Rocha, H., and F. Viseu O ensino de Funções no 3.º ciclo e no ensino secundário: que diferenças? [Teaching Functions at lower and upper secondary: what is different?]. EIEM. Coimbra: SPIEM, 2018. Abstract

Neste estudo analisamos as perceções que professores do 3.º ciclo e do ensino secundário têm da sua prática no âmbito do ensino de Funções, com o objetivo de as caracterizar e de identificar as diferenças existentes entre estes dois grupos de professores. Um aspeto particularmente relevante se tivermos em conta que se tratam de dois grupos de professores com formações iniciais idênticas. Adotamos uma metodologia mista, com uma vertente quantitativa apoiada na aplicação de questionários e uma vertente qualitativa baseada na realização de entrevistas. As principais conclusões alcançadas apontam para semelhanças nas perceções dos professores, mas também para algumas diferenças em função do ciclo de ensino. Na planificação das aulas os manuais são amplamente utilizados, mas de forma diferente consoante o ciclo de ensino do professor. Os professores de ambos os ciclos de ensino estabelecem conexões entre diferentes representações, mas valorizam de diferentes formas as representações disponíveis. O envolvimento dos alunos nas atividades da aula é outro aspeto destacado pelos professores, mas uma vez mais existem diferenças. Na avaliação o recurso ao teste é enfatizado pelos dois grupos de professores, mas já existem diferenças quanto à importância atribuída ao trabalho de grupo.

Rocha, H., M. C. Costa, and H. Jacinto O desenvolvimento curricular e a formação de professores. Atas do Encontro de Investigação em Educação Matemática. SPIEM, 2022.
Coelho, T., and H. Rocha O conhecimento profissional do professor e a interdisciplinaridade em contexto de integração com a tecnologia. XXXII Seminário de Investigação em Educação Matemática. Setúbal: APM, 2022.
Botelho, M. C., and H. Rocha O conhecimento profissional do professor de matemática na integração de diferentes tecnologias. Atas do XXXII Seminário de Investigação em Educação Matemática. Setúbal: APM, 2022.
Botelho, M. C., and H. Rocha O conhecimento do professor de matemática e a integração das tecnologias na sua prática. Atas do Encontro de Investigação em Educação Matemática., 2022.
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Viseu, F., P. Mendes, and H. Rocha The notion of function by basic education preservice teachers. ATEE Winter Conference ‘Science and mathematics education in the 21st century. Brussels: ATEE and CIEd, 2019. Abstract

The current curricular guidelines for mathematics education in Portugal emphasize the relevance of working with different representations of functions to promote understanding. Given this relevance, we seek understanding about the notion of function held by 37 basic education pre-service teachers in their first year of a master’s course. Data were collected through a task focusing on identifying functions in situations based on different representations. The content analysis technique was then adopted in the search for an understanding of the justifications given by the participants. The results achieved suggest it is easier for the pre-service teachers to identify examples that are not functions than examples that are functions. There is also a tendency for greater accuracy in the identification of examples expressed by tables than by algebraic expressions. The justifications presented show a notion of function as a relation between values of two non-empty sets, but without guaranteeing that this relation is single-valued.

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Rocha, H. Múltiplas abordagens, múltiplas representações: um contributo para incrementar a relevância da representação algébrica [Multiple approaches, multiple representations: a contribute to increase the relevance of algebraic representation]. Atas do Encontro de Investigação em Educação Matemática. Bragança, Portugal: SPIEM, 2015. Abstract

A tecnologia e o impacto que esta pode ter sobre as diferentes representações utilizadas e, em particular, sobre a representação algébrica são o foco deste artigo. Procura-se assim compreender como é que o professor enquadra a representação algébrica no trabalho em sala de aula e como a procura tornar relevante para os alunos num contexto de utilização da tecnologia. As conclusões alcançadas apontam para a opção por uma estreita articulação entre as representações algébrica e gráfica e para uma criteriosa escolha de tarefas, envolvendo múltiplas abordagens, onde a representação algébrica vem disponibilizar informação fundamental e tendencialmente inacessível a partir de outras representações.

Rocha, H., and I. Oitavem. "A mudança que abala o mundo – Editorial." Educação e Matemática.116 (2012): 1.
Rocha, H. "Moving from one representation to another: different ways of doing it, different mathematical learning." The Scottish Mathematical Council Journal. 47 (2017): 40-48.Website